El Sofista

Los puntos de Lagrange

El matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange descubrió cinco puntos especiales en las proximidades de dos masas en órbita [alrededor de su centro de masas común] donde una tercera de menor masa puede mantener su órbita a una distancia fija de las masas mayores. Dicho en forma más precisa, los puntos de Lagrange marcan las posiciones donde el tirón gravitacional de las dos grandes masas equivalen exactamente a la fuerza centrípeta requerida para rotar con ellos. Quienes tengan formación matemática pueden seguir este enlace a una derivación del resultado de Lagrange (168K en formato .PDF, 8 páginas).

De los cinco puntos de Lagrange, tres son inestables y dos estables. Los puntos de Lagrange inestables —conocidos como L1, L2 y L3— se encuentran a lo largo de la línea que conectan las dos masas más grandes. Los puntos de Lagrange estables —L4 y L5— forman el ápice de dos triángulos equiláteros cuyos vértices están constituídos por las masas más grandes.

Los puntos de Lagrange en el sistema Tierra-Sol (el dibujo no está a escala).

En el punto L1 del sistema Tierra-Sol hay una vista ininterrumpida del Sol y actualmente se encuentra en esa ubicación el satélite de observación solar SOHO. En el punto L2 del sistema Tierra-Sol se encuentra la nave espacial WMAP y —quizá por el 2011 el Telescopio Espacial James Webb [y el Herschel en un futuro próximo]—. Los puntos L1 y L2 son inestables en una escala de tiempo de unos 23 días, por lo cual los satélites estacionados en esos puntos necesitan correcciones regulares de curso y estabilización.

Es poco probable que la NASA le encuentre algún uso al punto L3, ya que éste se encuentra permanentemente detrás del Sol. La idea de un "Planeta-X" oculto [o de la "Contra-Tierra"] es un tema popular en la ciencia ficción. La inestabilidad de la órbita de un tal planeta —en una escala de tiempo de 150 días— no impidió que Hollywood produjera clásicos como El hombre del Planeta X.

Los puntos L4 y L5 son sedes de órbitas estables siempre y cuando la relación entre las dos masas más grandes sea mayor a 24,96. El sistema Tierra-Sol y Tierra-Luna satisfacen esta condición, al igual que muchos otros pares de cuerpos del Sistema Solar. A los objetos que orbitan en los puntos L4 y L5 a menudo se los llama Troyanos, por tres grandes asteroides —Agamenón, Aquiles y Héctor— que se mueven en órbita en los puntos L4 y L5 del sistema Júpiter-Sol. (Según Homero, durante el sitio de Troya, comandado por el Rey Agamenón, Aquiles mató a Héctor, el héroe troyano.) Hay cientos de asteroides troyanos en el Sistema Solar, de los cuales la mayoría están en órbita con Júpiter y otros con Marte. Además, muchas de las lunas de Saturno tienen acompañantes troyanos. Por otro lado, no se han hallado grandes asteroides en los puntos troyanos de los sistemas Tierra-Luna o Tierra-Sol. Sin embargo, el astrónomo polaco Kordylewski descubrió en 1956 una gran concentración de polvo en los puntos troyanos del sistema Tierra-Luna. Más recientemente, el instrumento DRIBE a bordo del satélite COBE confirmó anteriores observaciones del IRAS de un anillo de polvo que sigue la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La existencia de este anillo está vinculada estrechamente con los puntos troyanos, pero la historia se complica por los efectos de la presión de radiación sobre los granos de polvo.


Cómo encontrar los puntos de Lagrange

La forma más fácil de ver cómo Lagrange realizó su descubrimiento es adoptar un marco de referencia que rote con el sistema. Las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo en reposo en este marco pueden ser derivadas de un potencial efectivo de manera muy similar a como las velocidades del viento pueden ser inferidas de un mapa meteorológico. Las fuerzas son más potentes cuando los contornos del potencial efectivo alcanzan su punto de mayor acercamiento y más débiles cuando los contornos obtienen su punto de mayor alejamiento.

Potencial efectivo: diagrama de contorno del potencial efectivo (el dibujo no está a escala).

En el diagrama de contornos vemos que L4 y L5 corresponden a cimas y L1, L2 y L3 a pendientes —esto es, puntos donde el potencial se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en la otra—. Esto indica que los satélites ubicados en los puntos de Lagrange tenderán a deambular —como una bolita arriba de una sandía o de una montura—. Un estudio detallado (en .PDF) confirma las expectativas para L1, L2 y L3, pero no para L4 y L5. Cuando un satélite, estacionado en L4 o L5, comienza a rodar fuera de la cima aumenta su velocidad. En este punto, la fuerza de Coriolis entra en acción —la misma fuerza que causa que los huracanes giren hacia arriba en la Tierra— y envía a los satélites a una órbita estable alrededor del punto de Lagrange.

Fuente: WMAP/NASA, Neil J. Cornish y Bad Astronomy, donde pueden ver un video sobre el tema (enlaces en inglés).

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escrito por el sofista @ viernes, julio 25, 2008