martes, junio 01, 2004

Por qué nos importan los números primos de Mersenne

Los números primos siempre fascinaron a los matemáticos, no sólo a los profesionales, sino también a los aficionados como yo (aunque vale la aclaración de que este sofista no es pitagórico). Se llama número primo al entero mayor a uno y que es sólo divisible por uno y por sí mismo. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Por ejemplo, el número 10 no es primo porque es divisible por 2 y por 5. Un número primo de Mersenne es un número primo de la forma 2^p -1, donde p también es primo. Los primeros números primos de Mersenne son 3, 7, 31, 127, etc. Hasta hoy sólo se conocen 41 números primos de Mersenne. Una tabla de estos números, junto con una breve historia y teoremas relacionados, puede consultarse aquí (en inglés).

Los números primos de Mersenne son importantes en la teoría de los números desde que Euclides los trató en el 350 AC. Toman su nombre del monje francés Marin Mersenne (1588-1648), quien publicó una famosa conjetura acerca de algunos de los valores de p que podrían ser primos. Llevó 300 años y muchos descubrimientos matemáticos resolver esta conjetura.

Los programas utilizados en GIMPS para descubrir los enormes números primos de Mersenne se basan en un algoritmo especial. A principios de 1990, Richard Crandall, un matemático premiado con el Apple Distinguished Scientist, descubrió varias formas de duplicar la velocidad de unas grandes operaciones de multiplicación llamadas convoluciones. El método no sólo se aplica a la búsqueda de números primos sino también a otros campos de la informática. A resultas de este trabajo, Crandall patentó un sistema de encriptación conocido como Fast Elliptic Encryption, patente que Apple compró hace unos años. Apple usa los números primos de Mersenne para encriptar y desencriptar mensajes de una manera muy rápida. George Woltman, el fundador de GIMPS, implementó el algoritmo de Crandall en lenguaje máquina y así obtuvo un programa de búsqueda de números primos de una eficiencia sin precedentes, que llevó a GIMPS a descubrir los últimos siete números primos de Mersenne.

Antes de GIMPS, la búsqueda de los números primos de Mersenne era territorio exclusivo de las supercomputadoras, como las Cray, que utilizaban las búsquedas para probar el hardware y cuantificar la velocidad de cómputo.

Enlace (en inglés)

2 Sofismas:

El mié. sep. 30, 02:22:00 a.m. 2015, Blogger Victor Arteaga escribió...

En realidad no es tan coplejo el determinar todos los núemros primos de Mersenne, como se muestra en esta evaluación directa.

EVALUANDO Rango:(4,57885180)

2^{5}-1 Mp[3] Primo de Mersenne
2^{7}-1 Mp[4] Primo de Mersenne
2^{13}-1 Mp[5] Primo de Mersenne
2^{17}-1 Mp[6] Primo de Mersenne
2^{19}-1 Mp[7] Primo de Mersenne
2^{31}-1 Mp[8] Primo de Mersenne
2^{61}-1 Mp[9] Primo de Mersenne
2^{89}-1 Mp[10] Primo de Mersenne
2^{107}-1 Mp[11] Primo de Mersenne
2^{127}-1 Mp[12] Primo de Mersenne
2^{521}-1 Mp[13] Primo de Mersenne
2^{607}-1 Mp[14] Primo de Mersenne
2^{1279}-1 Mp[15] Primo de Mersenne
2^{2203}-1 Mp[16] Primo de Mersenne
2^{2281}-1 Mp[17] Primo de Mersenne
2^{3217}-1 Mp[18] Primo de Mersenne
2^{4253}-1 Mp[19] Primo de Mersenne
2^{4423}-1 Mp[20] Primo de Mersenne
2^{9689}-1 Mp[21] Primo de Mersenne
2^{9941}-1 Mp[22] Primo de Mersenne
2^{11213}-1 Mp[23] Primo de Mersenne
2^{19937}-1 Mp[24] Primo de Mersenne
2^{21701}-1 Mp[25] Primo de Mersenne
2^{23209}-1 Mp[26] Primo de Mersenne
2^{44497}-1 Mp[27] Primo de Mersenne
2^{86243}-1 Mp[28] Primo de Mersenne
2^{110503}-1 Mp[29] Primo de Mersenne
2^{132049}-1 Mp[30] Primo de Mersenne
2^{216091}-1 Mp[31] Primo de Mersenne
2^{756839}-1 Mp[32] Primo de Mersenne
2^{859433}-1 Mp[33] Primo de Mersenne
2^{1257787}-1 Mp[34] Primo de Mersenne
2^{1398269}-1 Mp[35] Primo de Mersenne
2^{2976221}-1 Mp[36] Primo de Mersenne
2^{3021377}-1 Mp[37] Primo de Mersenne
2^{6972593}-1 Mp[38] Primo de Mersenne
2^{13466917}-1 Mp[39] Primo de Mersenne
2^{20996011}-1 Mp[40] Primo de Mersenne
2^{24036583}-1 Mp[41] Primo de Mersenne
2^{25964951}-1 Mp[42] Primo de Mersenne
2^{30402457}-1 Mp[43] Primo de Mersenne
2^{32582657}-1 Mp[44] Primo de Mersenne
2^{37156667}-1 Mp[45] Primo de Mersenne
2^{42643801}-1 Mp[46] Primo de Mersenne
2^{43112609}-1 Mp[47] Primo de Mersenne
2^{57885161}-1 Mp[48] Primo de Mersenne
<----- REPORTE FINAL ----->
Mp Primos:48
Mn Compuestos:3443913

Tiempo Evaluacion: Tmpo:21:58
*** EVALUACIONES COMPLETADAS ***

 
El vie. oct. 02, 03:15:00 p.m. 2015, Blogger el sofista escribió...

Sí, ahora es fácil repetir los éxitos del pasado, pues los equipos son mucho más potentes. Pero si realmente querés experimentar las dificultades de la búsqueda, podés calcular los siguientes 50 primos de Mersenne.

Suerte!

 

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